📚
FÍSICA UB - WIKIBLOG
Sobre aquesta webFes-te editor/a!Contacte
Volum i superfície d’una hiperesfera i d’un hiperel·lipsoide

Volum i superfície d’una hiperesfera i d’un hiperel·lipsoide

Expressions ràpides

Hiperesfera de radi RR i NN dimensions

VN=(π)NΓ(N2+1)RNSN=2(π)NΓ(N2)RN−1ωN=SNΔSN=ΩNRN−1\boxed{V_N=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big) }R^N} \qquad\quad \boxed{S_N=\frac{2\big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}\big) }R^{N-1}} \qquad\quad \begin{aligned} &\boxed{\omega_N= S_N\Delta} \\ &\boxed{S_N=\Omega_N R^{N-1}} \end{aligned}
Per dimensió 2N2N (parella)
V2N=πNN!R2NS2N=2πN(N−1)!R2N−1V_{2N}=\frac{\pi^N}{N!}R^{2N}\qquad \quad S_{2N}=\frac{2\pi^N}{(N-1)!}R^{2N-1}
Per dimensió 2N+12N+1 (senar)
V2N+1=2N+1πN(2N+1)!!R2N+1S2N+1=2N+1πN(2N−1)!!R2NV_{2N+1}=\frac{2^{N+1}\pi^N}{(2N+1)!!}R^{2N+1} \qquad\quad S_{2N+1}=\frac{2^{N+1}\pi^N}{(2N-1)!!}R^{2N}
Nota: Si tenim NN oscil·ladors harmònics unidimensionals (pp i qq per cada partícula), necessitarem el volum d’una hiperesfera de 2N2N dimensions.
V2N=πNΓ(N+1)R2NS2N=2πNΓ(N)R2N−1ω2N=S2NΔV_{2N}=\frac{ \pi^{N} }{ \Gamma\big(N+1\big) }R^{2N} \qquad\quad S_{2N}=\frac{2\pi^N }{ \Gamma\big(N\big) }R^{2N-1} \qquad\quad \omega_{2N}= S_{2N}\Delta
Si tenim una superficie o volum i només volem un quadrant o un octant hem de dividir per 2N2^N
KN=12NK_N=\frac{1}{2^N}

Resultats integrals

∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Ndxi=VN\boxed{\hspace{1.2em}\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N dx_i=V_N\hspace{0.3em}}

Passar d’hiperl·lipsoide a hiperesfera

Si tenim un hiperel·lipsoide de radis rir_i, podem construir una hiperesfera amb el mateix volum, si prenem com a radi rr el següent
r=∏i=1Nri1/Nr=\prod_{i=1}^Nr_i^{1/N}
 

Càlcul del volum d’una hiperesfera

1. Relacions entre volums i superfícies d’una hiperesfera

Si tenim una hiperesfera de radi RR i NN dimensions, denotarem VNV_N pel volum i SNS_N per la superfície d’aquesta.
Valors que ja coneixem:
  • V1=2RV_1=2R
  • V2=πR2V_2=\pi R^2
  • V3=43πR3V_3=\frac{4}{3}\pi R^3
  • S1=2S_1=2
  • S2=2πRS_2=2\pi R
  • S3=4πR2S_3= 4\pi R^2
És fàcil fixar-se que es compleix el següent
VN∝RNSN=ddR[VN(R)]SN∝RN−1VN(R)=∫0RSN(r)dr\begin{aligned} V_N&\propto R^N\qquad & S_N&=\frac{d}{dR}\Big[V_N(R)\Big] \\[1em] S_N&\propto R^{N-1} \qquad& V_N(R)&= \int_0^R S_{N}(r)dr \end{aligned}
Més concretament, veiem que podem expressar la constant de proporcionalitat com el valor de la hiperesfera de radi unitat VNR=1V^{R=1}_N.
VN=VNR=1RNV_N=V_N^{R=1}R^N
Al calcular la derivada, obtenim que podem expressar la superfície com a
SN=VNR=1NRN−1S_N=V_N^{R=1}NR^{N-1}
Molt bé, aleshores per trobar VNV_N i SNS_N el que necessitarem és trobar VNR=1V_N^{R=1}, que passarà a ser el nostre objectiu.
Ens interessarà més endavant poder expressar el volum com a
VN(R)=VNR=1N∫0RrN−1dr\boxed{V_N(R)=V_N^{R=1}N\int_0^R r^{N-1}dr}
Que simplement ve d’integrar el valor de la superfície altra vegada.
Nota: Recordem que hem derivat la superfície a partir del volum, si resolem la integral tornarem a obtenir l’expressió de volum de la que hem partit. Aquí l’important no és resoldre la integral, sinó l’expressió que ens ha quedat, que ens serà útil més endavant.

2. Diferencial de volum i regions d’integració

En coordenades cartesianes el diferencial de volum s’expressa
  • dV1cart=dxdV^\text{cart}_1=dx
  • dV2cart=dxdydV^\text{cart}_2=dxdy
  • dV3cart=dxdydzdV^\text{cart}_3=dxdydz
  • dVNcart=∏i=1NdxidV_N^\text{cart}=\prod_{i=1}^N dx_i
En coordenades hiperesfèriques el diferencial de volum s’expressa
  • dV1hipesf=dS1(r)dr=r0dΩ1dr=drdV^\text{hipesf}_1=dS_1(r)dr=r^0d\Omega_1dr=dr
  • dV2hipesf=dS2(r)dr=r1dΩ2dr=rdϕdrdV^\text{hipesf}_2=dS_2(r)dr=r^1d\Omega_2dr=rd\phi dr
  • dV3hipesf=dS3(r)dr=r2dΩ3dr=r2sin⁡θdθdϕdrdV^\text{hipesf}_3= dS_3(r)dr=r^2d\Omega_3dr=r^2\sin\theta d\theta d\phi dr
  • dVNhipesf=dSN(r)dr=rN−1dΩNdrdV_N^\text{hipesf}=dS_N(r)dr=r^{N-1}d\Omega_Ndr
En què dSN(r)dS_N(r) correspon al diferencial de hipersuperfície i dΩNd\Omega_N és l’.
notion image
Al final la clau està en adonar-se que
dSN(r)∝rN−1dS_N(r)\propto r^{N-1}
I per tant quan al passar d’un diferencial de volum cartesià a un hiperesfèric canviem la regió d’integració…
VN=∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2dVNcart=∫⋯∫dVNhipesf=∫⋯∫rN−1dΩNdrV_N=\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} } dV^\text{cart}_N =\int\cdots\int dV_N^\text{hipesf} =\int\cdots\int r^{N-1}d\Omega_Ndr
…ens adonem que no ens preocupa tota la part angular, ja que al ser integrada en la regió que considerem (tot el volum en aquest cas) simplement quedarà una constant.
VN=[∫⋯∫dΩN]⋅[∫0RrN−1dr]=CN∫0RrN−1drV_N=\Bigg[\int\cdots\int d\Omega_N\Bigg]\cdot\Bigg[\int_0^R r^{N-1} dr\Bigg]=C_N\int_0^R r^{N-1} dr
Molt bé, i quina és aquesta constant? No cal fer cap integral per esbrinar-ho! Només ens cal comparar l’expressió amb la que hem obtingut abans.
VN(R)=VNR=1N∫0RrN−1drV_N(R)=V_N^{R=1}N\int_0^R r^{N-1}dr
I per tant comparant les dues expressions deduïm que
CN=VNR=1NC_N=V_N^{R=1}N
Recapitulant, tenim que la regió de l’espai NN-dimensional en el que es troba la nostra hiperesfera, es pot expressar en coordenades cartesianes o en coordenades hiperesfèriques.
I veiem que hem aconseguit satisfactòriament relacionar les dues regions d’integració, de manera que la relació entre una i l’altra involucri VNR=1V_N^{R=1}, que és el que volem trobar.
∫⋯⋅⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Ndxi=VNR=1N∫0RrN−1dr\boxed{\int\cdots \cdot\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-5em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} } \prod_{i=1}^Ndx_i =V_N^{R=1}N\int_0^R r^{N-1}dr}
En què precisament per com hem definit les coordenades hiperesfèriques es compleix
r=∑i=1Nxi2r=\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}

3. Integrar una funció f(x1,x2,...,xN)f(x_1,x_2,...,x_N) sobre tot el domini

Molt bé, ara que hem aconseguit relacionar les dues regions d’integració podem realitzar un petit truc perfectament vàlid.
Enlloc de simplement integrar el domini d’aquesta (hiper)regió d’integració, podem integrar qualsevol funció f(x1,x2,...,xN)f(x_1,x_2,...,x_N) que vulguem sobre aquest domini, i fer-ho tan en coordenades cartesianes com en coordenades hiperesfèriques, per tal de (en cas de saber resoldre les integrals), determinar millor la relació (VNR=1)(V_N^{R=1}) que hi ha entre elles.
Per entendre perquè aquest truc és perfectament vàlid, pensem-ho en un exemple senzill en 2 dimensions.
Exemple en 2 dimensions
Aquestes dues integrals són equivalents
∫∫0≤x2+y2≤9f(x,y)dxdy=∫∫0≤r≤30≤ϕ≤2πf(x(r,ϕ),y(r,ϕ))⏞f(r,ϕ)rdrdϕ{\int\int}_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-3em} 0\le x^2+y^2\le 9 \end{subarray} }f(x,y)dxdy={\int\int}_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-2.3em} 0\le r\le3 \\[0.3em]\hspace{-2.3em} 0\le\phi\le 2\pi \end{subarray} } \overbrace{f(x(r,\phi),y(r,\phi))}^{f(r,\phi)}rdrd\phi
Si la funció f(r,ϕ)f(r,\phi) no depengués de ϕ\phi, podríem expressar les dues integrals tal que així
∫∫0≤x2+y2≤9f(x,y)dxdy=C2∫03f(r)rdr{\int\int}_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-3em} 0\le x^2+y^2\le9 \end{subarray} }f(x,y)dxdy=C_2\int_0^3 f(r)rdr
En què la constant C2=∫02πdϕ=2πC_2=\int_0^{2\pi}d\phi=2\pi és exactament la mateixa constant que obtindríem si només integréssim el domini (sense cap funció).
Però això no és tot! I és que no només podem si volem integrar una funció, també podem estendre tot el que vulguem l’interval d’integració que la constant corresponent a la part angular seguirà essent la mateixa.
∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=C2∫0∞f(r)rdr\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dxdy=C_2\int_0^\infty f(r)rdr
En aquest cas les integrals seran encara més fàcils de solucionar i la constant C2C_2 que voldrem averiguar resolent les integrals, seguirà sent la mateixa.
Molt bé, anem a portar-ho al cas general, és a dir per NN dimensions.
El truc consisteix en que si integrem una funció f(x1,x2,...,xN)f(x_1,x_2,...,x_N), tal que al passar-ho a coordenades hiperesfèriques f(r,φ1,φ2,...φN−1)f(r,\varphi_1,\varphi_2,...\varphi_{N-1}) aconseguim que aquesta funció només depengui de la coordenada radial, és a dir quedi f(r)f(r)…
Aleshores, la relació de proporcionalitat entre les integrals cartesianes i la integral radial hiperesfèrica, serà exactament la mateixa que ja havíem obtingut.
∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2f(x1,x2,...,xN)∏i=1Ndxi=VNR=1N∫0Rf(r)rN−1dr\int\cdots \int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} } f(x_1,x_2,...,x_N)\prod_{i=1}^Ndx_i =V_N^{R=1}N\int_0^R f(r)r^{N-1}dr
I com hem vist, res ens impedeix estendre aquest interval d’integració de manera que ocupi tot l’espai NN-dimensional.
∫−∞∞⋯∫−∞∞f(x1,x2,...,xN)∏i=1Ndxi=VNR=1N∫0∞f(r)rN−1dr\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2,...,x_N)\prod_{i=1}^Ndx_i =V_N^{R=1}N\int_0^\infty f(r)r^{N-1}dr
Doncs la funció que proposarem per tal de facilitar el càlcul de les integrals és
f(x1,x2,...,xN)=e−∑i=1Nxi2f(x_1,x_2,...,x_N)=e^{-\sum_{i=1}^Nx_i^2}
De manera que al passar-ho a coordenades hiperesfèriques quedarà
f(x1(r,φ1,...φN),x2(r,φ1,...,φN),....xN(r,φ1,φN))=e−∑i=1Nxi2=e−r2=f(r)f(\small x_1(r,\varphi_1,...\varphi_N),x_2(r,\varphi_1,...,\varphi_N),....x_N(r,\varphi_1,\varphi_N)\normalsize)=e^{-\sum_{i=1}^Nx_i^2}=e^{-r^2}=f(r)
Posant-ho a l’expressió obtenim
VNR=1=∫−∞∞⋯∫−∞∞e−∑k=1Nxi2∏i=1NdxiN∫0∞e−r2rN−1dr\boxed{V_N^{R=1}= \frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty e^{-\sum_{k=1}^Nx_i^2}\prod_{i=1}^Ndx_i }{\displaystyle N\int_0^\infty e^{-r^2}r^{N-1}dr} }
És a dir que per trobar VNR=1V_N^{R=1} ja només ens queda saber resoldre les següents dues integrals
∫−∞∞⋯∫−∞∞e−∑k=1Nxi2∏i=1Ndxi\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty e^{-\sum_{k=1}^Nx_i^2}\prod_{i=1}^Ndx_i∫0∞e−r2rN−1dr\int_0^\infty e^{-r^2}r^{N-1}dr
Fixem-nos que la primera es pot simplificar molt fàcilment, ja que al complir-se
ex2+y2dxdy=(ex2dx)(ey2dy)e^{x^2+y^2}dxdy=(e^{x^2}dx)(e^{y^2}dy)
Ens queda
∫−∞∞⋯∫−∞∞e−∑k=1Nxi2∏i=1Ndxi=[∫−∞∞e−x2dx]N\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty e^{-\sum_{k=1}^Nx_i^2}\prod_{i=1}^Ndx_i=\Bigg[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\Bigg]^N

4. Repàs d’integrals gaussianes

Sabem de que les integrals que ens interessen tindran com a resultat…
∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}∫0∞rN−1e−r2dr=Γ(N2)2\int_{0}^\infty r^{N-1}e^{-r^2}dr=\frac{\Gamma\big(\frac{N}{2}\big)}{2}

5. Expressions finals de VNR=1V_N^{R=1}, VNV_N i SNS_N

Ara que ja tenim tots els ingredients, podem veure fàcilment que
VNR=1=[∫0∞e−x2dx]NN∫0∞e−r2rN−1dr=2(π)NN Γ(N2)V_N^{R=1}= \frac{\displaystyle \Bigg[\int_0^\infty e^{-x^2}dx\Bigg]^N }{\displaystyle N\int_0^\infty e^{-r^2}r^{N-1}dr} = \frac{ 2\big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ N ~\Gamma\big(\frac{N}{2}\big) }
Recordem que una de les propietats de la funció Gamma és zΓ(z)=Γ(z+1)z\Gamma(z)=\Gamma(z+1) així que
N2Γ(N/2)=Γ(N/2+1)\frac{N}{2}\Gamma(N/2)=\Gamma(N/2+1)
I que per tant, l’expressió final pel volum d’una hiperesfera de NN dimensions i radi unitat queda
VNR=1=(π)NΓ(N2+1)\boxed{V_N^{R=1}=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big) }}
I d’aquí podem deduir amb les relacions que hem vist al principi, les expressions pel volum i per la superfície d’una hiperesfera de NN dimensions i radi RR.
El volum queda tal que així.
VN=(π)NΓ(N2+1)RN\boxed{V_N=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big) }R^N}
I l’expressió per la superfície serà
SN=VNR=1NRN−1=(π)NΓ(N2+1)NRN−1=(π)N(N/2) Γ(N2)NRN−1S_N=V_N^{R=1}NR^{N-1}=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big) }NR^{N-1} = \frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ (N/2)~\Gamma\big(\frac{N}{2}\big) }NR^{N-1}
Que simplificant-la queda
SN=2(π)NΓ(N2)RN−1\boxed{S_N=\frac{2\big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}\big) }R^{N-1}}

6. Expressions simplificades pel cas senar i el cas parell

Cas parell
Anem a posar 2N2N a les expressions trobades
V2N=(π)2NΓ(2N2+1)R2NS2N=2(π)2NΓ(2N2)R2N−1V_{2N}=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^{2N} }{ \Gamma\big(\frac{2N}{2}+1\big) }R^{2N} \qquad \quad S_{2N}=\frac{2\big(\sqrt{\pi}\big)^{2N} }{ \Gamma\big(\frac{2N}{2}\big) }R^{2N-1}
Si ara simplifiquem i utilitzem les següents propietats de la funció gamma
Γ(N+1)=N!Γ(N)=(N−1)!\small \Gamma(N+1)=N!\qquad\quad \Gamma(N)=(N-1)!
Obtenim una versió més directa pel cas parell
V2N=πNN!R2NS2N=2πN(N−1)!R2N−1\boxed{V_{2N}=\frac{\pi^N}{N!}R^{2N}}\qquad \quad \boxed{S_{2N}=\frac{2\pi^N}{(N-1)!}R^{2N-1}}
Cas senar
Anem a posar 2N+12N+1 a les nostres expressions
V2N+1=(π)2N+1Γ(2N+12+1)R2N+1S2N+1=2(π)2N+1Γ(2N+12)R2N+1−1V_{2N+1}=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^{2N+1} }{ \Gamma\big(\frac{2N+1}{2}+1\big) }R^{2N+1} \qquad \quad S_{2N+1}=\frac{2\big(\sqrt{\pi}\big)^{2N+1} }{ \Gamma\big(\frac{2N+1}{2}\big) }R^{2N+1-1}
Simplificant i utilitzant les propietats de la funció gamma i del doble factorial següents
Γ(N+1/2)=(2N−1)!!2Nπ(2N+1)(2N−1)!!=(2N+1)!!\small \Gamma(N+1/2)=\frac{(2N-1)!!}{2^N}\sqrt{\pi} \qquad \quad (2N+1)(2N-1)!!=(2N+1)!!
Obtenim unes expressions més directes pel cas senar
V2N+1=2N+1πN(2N+1)!!R2N+1S2N+1=2N+1πN(2N−1)!!R2N\boxed{V_{2N+1}=\frac{2^{N+1}\pi^N}{(2N+1)!!}R^{2N+1}} \qquad\quad \boxed{ S_{2N+1}=\frac{2^{N+1}\pi^N}{(2N-1)!!}R^{2N}}

7. Extra: Càlcul d’una closca (hiper)esfèrica

D’acord ara que sabem calcular el volum i la superfície d’aquests esfera, perquè no calculem quin volum ocupa una closa esfèrica? A aquest diferencial de volum l’anomenarem ωN(R)\omega_N(R).
“No confondre el diferencial de volum dV=dS(R)dRdV=dS(R)dR amb el diferencial de volum ωN(R)=S(R)dR\omega_N(R)= S(R)dR.”
El volum d’una closca esfèrica de gruix Δ≡ΔR\Delta \equiv\Delta R serà
ωN(R,Δ)=VN(R+Δ)−VN(R)=VNR=1[(R+Δ)N−RN]\omega_N(R, \Delta )=V_N(R+\Delta )-V_N(R)=V_N^{R=1}\big[(R+\Delta )^N-R^N\big]
Fixem-nos fàcilment que
(R+Δ)3=R3+3R2Δ+3RΔ2+Δ3(R+\Delta)^3=R^3+3R^2\Delta+3R\Delta^2+\Delta^3(R+Δ)4=R4+4R3Δ+6R2Δ2+4RΔ3+Δ4(R+\Delta)^4=R^4+4R^3\Delta+6R^2\Delta^2+4R\Delta^3+\Delta^4
Sempre es complirà que
(R+ΔR)N=RN+CNRN−1Δ+O(Δ2)≈RN+CNRN−1Δ\begin{aligned} (R+\Delta R)^N&=R^N+C_NR^{N-1}\Delta +\text{O}(\Delta^2)\\ &\approx R^N+C_NR^{N-1}\Delta \end{aligned}
En què
CN=(N1)=N!1!(N−1)!=NC_N=\binom{N}{1}=\frac{N!}{1!(N-1)!}=N
Per més informació entrar a .
És a dir que
ωN(R,Δ)≈VNR=1[NRN−1Δ]\omega_N(R,\Delta)\approx V_N^{R=1}\big[NR^{N-1}\Delta\big]
Substituint l’expressió de VNR=1V_N^{R=1} queda
ωN(R,Δ)=(π)NΓ(N2+1)[NRN−1Δ]\omega_N(R,\Delta)= \frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big) } \big[NR^{N-1}\Delta\big]
I sabent que Γ(N/2+1)=(N/2)Γ(N/2)\Gamma(N/2+1)=(N/2)\Gamma(N/2) podem simplificar l’expressió a
ωN(R,Δ)=2(π)NΓ(N2)RN−1Δ\boxed{\omega_N(R,\Delta)= \frac{ 2\big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}\big) } R^{N-1}\Delta}
Notar que hi podríem haver arribat directament a partir de
ωN(R,Δ)=SN(R)Δ\boxed{\omega_N(R,\Delta)=S_N(R)\Delta}
(Hem fet el camí llarg innecessàriament a mode de corroboració).

8. Extra: Càlcul de sols un “octant” i no tota l’hiperesfera

Si només volem calcular un “octant” d’aquesta hiperesfera i diem “octant” en el sentit que per una esfera en 3 dimensions es tracta d’un octant, malgrat per NN dimensions clarament no.
Fixem-nos que els “octants” per una hiperesfera són una porció del total (ja sigui superfície o volum) anomenarem a aquest número KNK_N
En 1 dimensió
notion image
  • K1=12K_1=\frac{1}{2}
En 2 dimensions
notion image
  • K2=14K_2=\frac{1}{4}
En 3 dimensions
notion image
  • KN=18K_N=\frac{1}{8}
És bastant ràpid de veure que
KN=12NK_N=\frac{1}{2^N}
Aleshores per un “””octant””” d’hiperesfera tindrem
VNoct=VN2NSNoct=SN2NωN=ωN2NV_N^\text{oct}=\frac{V_N}{2^N} \qquad \quad S_N^\text{oct}=\frac{S_N}{2^N} \qquad \quad \omega_N=\frac{\omega_N}{2^N}
“A on es fa servir això i per què? “
“Doncs en física estadística principalment.”
Cas A) Si estem en estadística clàssica (Maxwell Boltzmann) però els nivells d’energia estan discretitzats. —> integrem en l’espai de les fases.
notion image
Tenim una quadrícula en què a cada intersecció hi ha un microestat, podem comptar el nombre de microestats que hi ha en una closca hiperesfèrica aproximant-ho al continu i dividint per l’àrea (o volum) d’un quadradet de quadrícula (ja que cada quadradet conté només 1 microestat i volem saber el nombre de microestats).
Ara bé, segons com, en general quan l’energia està discretitzada aquesta sempre és positiva, i per tant els moments lineals de les partícules del sistema, només podran ser positius.
E(k)≥0p2=2mE}→p(k)≥0 \left.\begin{aligned} &E(k)\ge0\\ &p^2=2mE \end{aligned}\right\} \rightarrow p(k)\ge0
Aleshores quan integrem en l’espai de les fases hem d’integrar sols la regió en què tots els moments són positius (1r quadrant, 1r octant…).
Cas B) Estadística quàntica per bosons (Bose-Einstein) —> integrem en l’espai dels nombre d’ocupació.
De la mateixa manera, els nombre d’ocupació sempre són positius. És a dir que quan vulguem contar el nombre de microestats de manera aproximada integrant l’hiperespai de 3N3N dimensions (3 nombres d’ocupació per cada partícula) i dividint pel volum d’una cel·la unitat, sols hem d’integrar el 1r quadrant, 1r octant...

9. Extra: Solució d’integrals arbitràries

A vegades simplement necessitem saber els resultats d’una integral. De moment coneixem que la següent integral té com a resultat el volum d’una hiperesfera de NN dimensions.
∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Ndxi=VN=(π)NΓ(N2+1)RN\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N dx_i=V_N=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big) }R^N
D’acord, però ens podríem preguntar quan val per exemple…
∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Nxi2dxi= ???\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N x_i^2dx_i=~???
Per calcular una integral així hem de seguir el mateix procediment d’abans, relacionar les dues regions d’integració, estendre l’interval a tot l’espai NN-dimensional i integrar-hi una funció (e−r2)(e^{-r^2}) que ens permeti resoldre les integrals als dos costats de la igualtat.
Abans de procedir, mirem bé com funciona el canvi a coordenades hiperesfèriques.
Canvi de cartesianes a hiperesfèriques
2 Dimensions
  • x=rcos⁡ϕx=r\cos\phi
  • y=rsin⁡ϕy=r\sin\phi
3 Dimensions
  • x=rcos⁡ϕsin⁡θx=r\cos\phi\sin\theta
  • y=rsin⁡ϕsin⁡θy=r\sin\phi\sin\theta
  • z=rcos⁡θz=r\cos\theta
4 Dimensions
  • x=rsin⁡φcos⁡ϕsin⁡θx=r\sin\varphi\cos\phi\sin\theta
  • y=rsin⁡φsin⁡ϕsin⁡θy=r\sin\varphi\sin\phi\sin\theta
  • z=rsin⁡φcos⁡θz=r\sin\varphi\cos\theta
  • t=rcos⁡φt=r\cos\varphi
“Al final és simplement al afegir una nova dimensió, projectar ρ=rsin⁡φN\rho=r\sin\varphi_N a l’espai d’una dimensió menys, en què ρ\rho passarà a fer el paper de rr”.
NN dimensions
  • x1=rsin⁡φN−1sin⁡φN−2⋯sin⁡φ3sin⁡φ2sin⁡φ1x_1=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\sin\varphi_3\sin\varphi_2\sin\varphi_1
  • x2=rsin⁡φN−1sin⁡φN−2⋯sin⁡φ3sin⁡φ2cos⁡φ1x_2=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\sin\varphi_3\sin\varphi_2\cos\varphi_1
  • x3=rsin⁡φN−1sin⁡φN−2⋯sin⁡φ3cos⁡φ2x_3=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\sin\varphi_3\cos\varphi_2
  • x4=rsin⁡φN−1sin⁡φN−2⋯cos⁡φ3x_4=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\cos\varphi_3
  • ⋯\cdots
  • xN−2=rsin⁡φN−1sin⁡φN−2cos⁡φN−3x_{N-2}=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cos\varphi_{N-3}
  • xN−1=rsin⁡φN−1cos⁡φN−2x_{N-1}=r\sin\varphi_{N-1}\cos\varphi_{N-2}
  • xN=rcos⁡φN−1x_{N}=r\cos\varphi_{N-1}
“Si una dimensió NN no existeix aleshores φN−1=π/2\varphi_{N-1}=\pi/2 i per tant sin⁡(φN−1)=1\sin(\varphi_{N-1})=1 i cos⁡(φN−1)=0\cos(\varphi_{N-1})=0”.
Molt bé, anem a mirar en quina forma pren ∏xi2\prod x_i^2 en hiperesfèriques.
∏i=1Nxi=rN[cos⁡φN−1⋯cos⁡φ1][(sin⁡φN−1)N−1(sin⁡φN−2)N−2⋯(sin⁡φ1)1]⏟[⋆]\prod_{i=1}^Nx_i=r^N \underbrace{\bigg[\cos\varphi_{N-1}\cdots\cos\varphi_1\bigg] \bigg[ (\sin\varphi_{N-1})^{N-1} (\sin\varphi_{N-2})^{N-2}\cdots(\sin\varphi_1)^1 \bigg]}_{\displaystyle\big[\star\big]}
Si ho elevem al quadrat quedarà
∏i=1Nxi2=r2N[⋆]2\prod_{i=1}^Nx_i^2=r^{2N}\big[\star\big]^2
En què realment la part angular no ens importa, ara veurem perquè.
∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Nxi2dxi=VNR=1N∫⋯∫r2N[⋆]2rN−1dr\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N x_i^2dx_i=V_N^{R=1}N\int\cdots\int r^{2N}\big[\star\big]^2r^{N-1}dr
Tota la part angular al ser integrada quedarà una constant.
∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Nxi2dxi=VNR=1N[∫⋯∫[⋆]2]⏟CN[∫0Rr3N−1dr]\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N x_i^2dx_i= \underbrace{ V_N^{R=1}N \Bigg[ \int\cdots\int \big[\star\big]^2 \Bigg]}_{C_N} \Bigg[\int_0^Rr^{3N-1}dr\Bigg]
Calcularem aquesta constant a partir d’integrar f(x1,x2,...,xN)=e−∑i=1Nxi2f(x_1,x_2,...,x_N)=e^{-\sum_{i=1}^Nx_i^2} sobre el domini de tot el pla NN-dimensional (resoldrem les dues integrals).
∫−∞∞⋯∫−∞∞e−∑i=1Nxi2∏i=1Nxi2dxi=[∫−∞∞e−x2x2dx]N=ΓN(32)=(π)N2N\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty e^{-\sum_{i=1}^Nx_i^2}\prod_{i=1}^Nx_i^2dx_i=\Bigg[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}x^2dx \Bigg]^N=\Gamma^N\Big(\frac{3}{2}\Big)=\frac{\big(\sqrt{\pi}\big)^N}{2^N}∫0∞e−r2r3N−1dr=Γ(3N2)2\int_0^\infty e^{-r^2}r^{3N-1}dr=\frac{\Gamma\big(\frac{3N}{2})}{2}
És a dir que
CN=(π)N2N2Γ(3N2)C_N=\frac{\big(\sqrt{\pi}\big)^N}{2^N}\frac{2}{\Gamma\big(\frac{3N}{2})}
Podem calcular ràpidament que
∫0Rr3N−1dr=R3N3N\int_0^Rr^{3N-1}dr=\frac{R^{3N}}{3N}
I ajuntant-ho tot obtenim
∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Nxi2dxi=(π)NR3N2NΓ(3N2+1)\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N x_i^2dx_i = \frac{\big(\sqrt{\pi}\big)^NR^{3N}}{2^{N}\Gamma\big(\frac{3N}{2}+1)}
On hem utilitzat que (3N/2)Γ(3N/2)=Γ(3N/2+1)(3N/2)\Gamma(3N/2)=\Gamma(3N/2+1).
Segons el llibre de problemes resolts, hauria de donar el següent
∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Nxi2dxi=(π2)N2N(3N)!R3N\boxed{\hspace{1.2em} \int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} \\[1em]\hspace{-4em} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N x_i^2dx_i=\Big(\frac{\pi}{2}\Big)^N\frac{2^N}{(3N)!}R^{3N} \hspace{0.2em}}
Lo qual no té sentit ja que no són gens compatibles les dues expressions.
I segons el chatGPT dona el següent
2πN/2R3N3NΓ(N/2).\boxed{\frac{2 \pi^{N/2} R^{3N}}{3N \Gamma(N/2)}}.
Bno li he tornat a preguntar al chatGPT i ara m’ho ha donat bé
La seva resposta (revisar-la)
To evaluate the integral $$ ∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Nxi2 dxi,\int\cdots\int_{ \begin{subarray}{c} 0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2 \end{subarray} }\prod_{i=1}^N x_i^2 \, dx_i, $$ we'll make use of spherical coordinates in \(NN\)-dimensional space.
We convert the integral into spherical coordinates, where the volume element in \(NN\)-dimensional spherical coordinates is: $$ dV=rN−1 dr dΩ,dV = r^{N-1} \, dr \, d\Omega, $$ with \(d\Omega\) representing the angular part and \(r\) the radial part.
Let's rewrite the integrand in spherical coordinates. In spherical coordinates, \(∑i=1Nxi2=r2\sum_{i=1}^N x_i^2 = r^2\), and the product \(∏i=1Nxi2\prod_{i=1}^N x_i^2\) becomes \(r2N∏i=1Ncos⁡2(θi)r^{2N} \prod_{i=1}^N \cos^2(\theta_i)\).
So, the integral becomes: $$ ∫(∫0Rr2NrN−1 dr)dΩ.\int \left( \int_{0}^{R} r^{2N} r^{N-1} \, dr \right) d\Omega. $$
The radial part of the integral is: $$ ∫0Rr2NrN−1 dr=∫0Rr3N−1 dr.\int_0^R r^{2N} r^{N-1} \, dr = \int_0^R r^{3N-1} \, dr. $$
Evaluating this integral, we get: $$ ∫0Rr3N−1 dr=R3N3N.\int_0^R r^{3N-1} \, dr = \frac{R^{3N}}{3N}. $$
Next, we need to integrate the angular part, which involves integrating \(∏i=1N\prod_{i=1}^N cos⁡2(θi)\cos^2(\theta_i)\) over the angular coordinates. In \(NN\)-dimensional spherical coordinates, the angular part can be written as: $$ ∫∏i=1Ncos⁡2(θi) dΩ.\int \prod_{i=1}^N \cos^2(\theta_i) \, d\Omega. $$
We recognize that this can be related to the volume of the unit sphere in \(NN\)-dimensional space, but with each \(cos⁡2(θi)\cos^2(\theta_i)\) term contributing a factor.
To compute this angular part correctly, note that for each \(\cos2(θicos^2(\theta_i)\), its integral over the corresponding angle ranges from \(00\) to \(π/2\pi/2\) can be written in terms of beta functions or related integrals.
Using properties of the beta function: $$ ∫0π/2cos⁡2(θ) dθ=π4.\int_0^{\pi/2} \cos^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{4}. $$
For \(NN\) such integrals, we get: $$ (π4)N.\left( \frac{\pi}{4} \right)^N. $$
The total angular integral, considering the normalization factor for the full angular volume \(ΩN\Omega_N\) of the \(NN\)-dimensional sphere, gives us: $$ ∫dΩ=2πN/2Γ(N/2).\int d\Omega = \frac{2 \pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}. $$
Combining both parts, the final integral evaluates to: $$ ∫⋯∫0≤∑i=1Nxi2≤R2∏i=1Nxi2 dxi=(π4)N⋅R3N3N⋅2πN/2Γ(N/2).\int \cdots \int_{0 \le \sum_{i=1}^N x_i^2 \le R^2} \prod_{i=1}^N x_i^2 \, dx_i = \left( \frac{\pi}{4} \right)^N \cdot \frac{R^{3N}}{3N} \cdot \frac{2 \pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}. $$
Simplifying, we find: $$ =(π4)N⋅R3N3N⋅2πN/2Γ(N/2)=(π4)N⋅R3N3N⋅2πN/2Γ(N/2)=(π4)N⋅R3N3N⋅2πN/2Γ(N/2).= \left( \frac{\pi}{4} \right)^N \cdot \frac{R^{3N}}{3N} \cdot \frac{2 \pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^N \cdot \frac{R^{3N}}{3N} \cdot \frac{2 \pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^N \cdot \frac{R^{3N}}{3N} \cdot \frac{2 \pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}. $$
Rewriting the factorial terms, we get: $$ =(π4)N⋅R3N3N⋅2πN/2Γ(N/2). \left( \frac{\pi}{4} \right)^N \cdot \frac{R^{3N}}{3N} \cdot \frac{2 \pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}. $$
Thus, we have the integral evaluated as:
(π2)N2N(3N)!R3N.\boxed{\Big(\frac{\pi}{2}\Big)^N\frac{2^N}{(3N)!}R^{3N}}.
⚠️
Hi ha un fallo en els càlculs, en aquest apartat 8, un dia ho reviso i miro on està.
Sabem de que...
Γ(n+1/2)=(2n)!4nn!π\Gamma(n+1/2)=\frac{(2 n) !}{4^n n !} \sqrt{\pi}Γ(3N+1/2)=(6N)!26N(3N)!π\Gamma(3N+1/2)=\frac{(6N) !}{2^{6N} (3N) !} \sqrt{\pi}

Passar d’un hiperel·lipsoide a una hiperesfera

📌
Objectiu: Passar d’un hiperel·lipsoide a una hiperesfera mantenint el mateix volum.
En 2 dimensions
Per passar d’una el·lipse
notion image
x2a+y2b=1\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1
La qual té per volum (àrea realment)
V=πabV=\pi ab
A un cercle
notion image
x2+y2=rx^2+y^2=r
Que té per volum
V=πr2V=\pi r^2
Farem el següent raonament
  1. Podem escalar els radis aa i bb de manera que siguin iguals, construint un cercle de radi abab.
  1. El volum del cercle ara serà V′=π(ab)2V'=\pi (ab)^2.
  1. Si volem un obtenir un volum igual al que tenia l’el·lipse original V=πabV=\pi a b, veiem que hem de dividir per un factor (ab)(ab).
  1. Dividir per aquest factor és mateix que reduir el radi del nou cercle per un factor ab\sqrt{ab}. Ho veiem fàcil ja que V=π(abab)2=πa2b2ab=πabV=\pi\big(\frac{ab}{\sqrt{ab}}\big)^2=\pi \frac{a^2b^2}{ab}=\pi a b.
Al final per passar d’una el·lipse de radis a,ba,b a una esfera (cercle) amb el mateix volum, hem hagut de prendre per radi
r=ab(ab)1/2=(ab)1/2r=\frac{ab}{(ab)^{1/2}}=(ab)^{1/2}
En 3 dimensions
Ara tenim una el·lipsoide que té per equació i volum
x2a+y2b+z2c=1V=43πabc\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=1 \qquad\quad V=\frac{4}{3}\pi abc
I el volem transformar en una esfera que té per equació i volum
x2+y2+z2=rV=43πr3x^2+y^2+z^2=r\qquad\quad V=\frac{4}{3}\pi r^3
El que farem serà primer construir una esfera de radi abcabc, que tindrà per volum V′=π(abc)3V'=\pi (abc)^3, i a continuació corregirem l’increment de volum.
Per corregir-lo podríem dividir per un factor (abc)2(abc)^2, o el que és el mateix, podem reduir el radi per un factor (abc)2/3(abc)^{2/3}, obtenint V=43π(abc(abc)2/3)3=43πa3b3c3a2b2c2=43πabcV=\frac{4}{3}\pi\big(\frac{abc}{(abc)^{2/3}}\big)^3=\frac{4}{3}\pi\frac{a^3b^3c^3}{a^2b^2c^2}=\frac{4}{3}\pi a b c.
Al final per passar d’un el·lipsoide de radis a,b,ca,b,c a una esfera amb el mateix volum, hem hagut de prendre per radi
r=abc(abc)2/3=(abc)1/3r=\frac{abc}{(abc)^{2/3}}=(abc)^{1/3}
Generalització pel cas de NN dimensions
Seguint merament la intuïció, ja veiem que pel cas de NN dimensions, si r1,r2...r_1,r_2... són els radis de l’el·lipsoide, el radi de l’hiperesfera amb el mateix volum serà de
r=r1⋅r2⋯rN(r1⋅r2⋯rN)(N−1)/N=∏i=1Nri1/Nr=\frac{r_1\cdot r_2\cdots r_N}{(r_1\cdot r_2\cdots r_N)^{(N-1)/N}}=\prod_{i=1}^Nr_i^{1/N}
Si ara calculem rNr^N obtenim
rN=∏i=1Nrir^N=\prod_{i=1}^Nr_i
Aleshores un hiperel·lipsoide de radis r1,r2,r3...r_1,r_2,r_3... tindrà per volum i superfície
VN=(π)NΓ(N2+1)∏i=1NriSN=2(π)NΓ(N2)∏i=1Nri1−1N\boxed{V_N=\frac{ \big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big) }\prod_{i=1}^Nr_i} \qquad\quad \boxed{S_N=\frac{2\big(\sqrt{\pi}\big)^N }{ \Gamma\big(\frac{N}{2}\big) }\prod_{i=1}^N r_i^{1-\frac{1}{N}}}
Ara ve la part útil
Això en general ho utilitzarem a física estadística, quan per exemple tinguem un sistema de NN partícules, i el hamiltonià (energia) de cada partícula depengui tan de la posició qq com del moment pp. Aleshores tindrem un el·lipsoide de 2N2N dimensions, en què només hi ha dos tipus de radis, rp∝pr_p\propto p i rq∝qr_q\propto q.
Aleshores tenim que
r2N=∏i=12Nri=rpNrqNr^{2N}=\prod_{i=1}^{2N}r_i=r_p^Nr_q^N
I per tant el volum d’aquest hiperel·lipsoide de 2N2N dimensions serà
V2N=πNΓ(N+1)(rprq)N\boxed{V_{2N}=\frac{ \pi^N }{ \Gamma\big(N+1\big) }(r_pr_q)^N}