Introducció
El producte de Kronecker és el germanet petit del producte tensorial. Un és per matrius i l’altre és per tensors (de qualsevol rang). Tenen el mateix símbol i generen les mateixes components, però les estructuren diferent.
Exemple: Tensorial per vectors Vs. Kronecker per matrius columna
Un resulta ser la “vectorització” de l’altre
Producte de Kronecker per matrius
Aquí és on resulta la utilitat del producte de Kronecker. Si multipliquéssim tensorialment dues matrius, obtindríem un tensor de rang 4 (que ens és difícil d’imaginar i d’escriure, per exemple per dimensió 2 seria una matriu 2x2x2x2).
Aleshores el que fem és escriure aquestes components en una matriu més gran. (Enlloc d’un tensor de dimensió 2 i rang 4 tindrem un tensor de rang 2 i dimensió 4).
Podríem dir que és equivalent a fer el producte tensorial (entre dos tensors de rang 2, que donaria un tensor de rang 4) i “matrificar-lo” (enlloc de “vectoritzar-lo” com hem vist abans).
Producte de Kronecker entre vectors i covectors (MQ)
Aquí és fàcil confondre’s. El producte de Kronecker el que fa és agafar la matriu de la dreta i “entrar-la” a cada element de la matriu de l’esquerra.
De manera que si tenim el producte de Kronecker de dos matrius columna obtenim una matriu columna més llarga
Mentre que si tenim el producte de Kronecker entre un vector i un covector (matriu columna i matriu fila) obtenim una matriu com amb el producte tensorial
De fet si ens poséssim estrictes un tensor mixt de valència , sempre està format de multiplicar tensorialment un vector i un covector, aleshores en aquest sentit sí que el producte tensorial i el producte de Kronecker són el mateix. Tot i així, i malgrat la distinció no sigui gaire important al haver-hi una equivalència entre les dues, cal tenir present que no són el mateix producte.
Producte de Kronecker i àlgebra de matrius (Càlcul Tensorial)
Crec que no es posen els parèntesis de les submatrius, perquè
Per tensors de rang 0
El rang és 0 + 0 = 0.
Per tensors de rang 1
Així doncs, tenim les següent transformacions lineals
De manera equivalent