📚
FÍSICA UB - WIKIBLOG
Sobre aquesta webFes-te editor/a!Contacte
Commutativitat dels límits, integrals, sumatoris…

Commutativitat dels límits, integrals, sumatoris…

Entre dos sumatoris

Sempre podem intercanviar dos sumatoris, siguin finits o infinits
∑i∑j=∑j∑i\sum_i\sum_j=\sum_j\sum_i

Límit i Integral

La pregunta que ens fem és quan podem i quan no podem aplicar la següent igualtat
∫lim⁡n→∞fn=lim⁡n→∞∫fn\int\lim_{n\to\infty} f_n=\lim_{n\to\infty}\int f_n
Condicions suficients per poder aplicar-la:
  • Quan fnf_n sigui monòtonament creixent i tingui una cota superior
  • Quan fnf_n sigui monòtonament decreixent i tingui una cota inferior
Teoremes formals sobre el tema
Teoremes que hi ha al darrera
notion image
Monotone Convergence Theorem
Dominated Convergence Theorem
Dominated convergence theorem
In measure theory, Lebesgue's dominated convergence theorem provides sufficient conditions under which almost everywhere convergence of a sequence of functions implies convergence in the L1 norm. Its power and utility are two of the primary theoretical advantages of Lebesgue integration over Riemann integration.
Dominated convergence theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem
Dominated Convergence Theorem
Fatou's Lemma, the Monotone Convergence Theorem, and the Dominated Convergence Theorem are three major results in the theory of Lebesgue integration which, when given a sequence of functions $\{f_n\}$, answer the question, "When can I switch the limit symbol and the integral symbol?" In this post, we discuss the Dominated Convergence Theorem and see why "domination" is necessary.
Dominated Convergence Theorem
https://www.math3ma.com/blog/dominated-convergence-theorem
Dominated Convergence Theorem
Fatou’s Lemma
Convergència uniforme vs convergència puntual
Convergencia uniforme Vs. Convergencia puntual
En este vídeo se muestran de manera intuitiva la diferencia entre la convergencia uniforme y la convergencia puntual con sendos ejemplos gráficos que permitirán comprender la principal diferencia entre estos conceptos. Este vídeo es una prueba de mis primeros pasos programando con las bibliotecas de Manim basadas en Python desarrolladas por Grant Sanderson para su canal 3Blue1Brown cuyo trabajo puedes (y casi debes) visitar en: https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw Si tienes interés en programar con Manim, échale un ojo a https://www.manim.community/ donde podrás encontrar un tutorial de instalación y de primeros pasos, aunque si te quedan dudas, puedes escribir en los comentarios o contactar conmigo en 🐦https://www.twitter.com/ParaDoppler La música es de Vincent Rubinetti y está disponible en: https://vincerubinetti.bandcamp.com/album/the-music-of-3blue1brown
Convergencia uniforme Vs. Convergencia puntual
https://www.youtube.com/watch?v=B9TmoYdaMe0
Convergencia uniforme Vs. Convergencia puntual
Més referències sobre el tema
Convergence Theorems in the Theory of Integration.pdf
143.3KB
[Llibre sencer]
Aleshores, podem aplicar-ho quan…
fn(x)≥fn(y)∀x>yfn(x)≤g(x)∀x,nf_n(x)\ge f_n (y)\quad \forall x\gt y\qquad f_n(x)\le g(x)\quad\forall x,no beˊ\text{o bé}fn(x)≤fn(y)∀x>yfn(x)≥h(x)∀x,nf_n(x)\le f_n (y)\quad \forall x\gt y\qquad f_n(x)\ge h(x)\quad\forall x,n

Sumatori i Integral

Podem intercanviar sumatoris i integrals sempre que el sumatori sigui finit
∑i=0n∫=∫∑i=0n\sum_{i=0}^{n}\int=\int\sum_{i=0}^n
Nota: Això inclou integrals impròpies ∫−∞∞\int_{-\infty}^\infty, l’únic problema està en el sumatori.
Ara bé si el sumatori és infinit… ja que
∑n=0∞=lim⁡n→∞∑i=0n\sum_{n=0}^\infty=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n
Podrem intercanviar-los en els mateixos casos en què puguem intercanviar un límit i una integral. Això al final pel sumatori es tradueix a que podem intercanviar-los quan la suma infinita sigui absolutament convergent.
si ∑i=0∞∣fi(x)∣≤L∀x  ⟹  ∑i=0∞∫=∫∑i=0∞\text{si }\sum_{i=0}^\infty |f_i(x)|\le L\quad\forall x\implies \sum_{i=0}^\infty\int=\int\sum_{i=0}^\inftysi no...  ⟹  ∑i=0∞∫≠∫∑i=0∞\text{si no...}\implies\sum_{i=0}^\infty\int\neq\int\sum_{i=0}^\infty

Altres (no tenen a veure)

Entre dos límits (límit multivariable)
Si un límit multivariable existeix, dos límits d’una variable sempre són commutatius (si no ho fossin directament hauríem demostrat que el límit no existeix).
lim⁡(x,y)→(a,b)=lim⁡x→alim⁡y→bf(x,y)=lim⁡y→blim⁡x→af(x,y)\lim_{(x,y)\to (a,b)}=\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}f(x,y)=\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}f(x,y)
Entre dos integrals (integrals dobles)
En general una doble integral no és commutativa
∫(1)∫(2)≠∫(2)∫(1)\int_{(1)}\int_{(2)}\neq\int_{(2)}\int_{(1)}
Ens diu el Teorema de Fubini que si un dels intervals d’integració és constant i la funció és continua en tota la regió, podem intercanviar les dues integrals.
∫ab∫cdf(x,y)dydx=∫cd∫abf(x,y)dxdy\int_a^b \int_c^d f(x, y) d y d x=\int_c^d \int_a^b f(x, y) d x d y

Derivada i Integral

Sempre és vàlid fer el següent (ja que la derivada és un operador lineal)
ddx∫=∫ddx\frac{d}{dx}\int=\int\frac{d}{dx}

Operador lineal i altres

Sempre és vàlid agafar un operador lineal L\mathcal{L} i entrar-lo i fer-lo sortir de integrals, sumatoris, derivades…. i altres operadors lineals.
L[∫f(x)dx]=∫L[f(x)]dx\mathcal{L}\left[\int f(x)dx\right]=\int \mathcal{L}\left[f(x)\right]dxL[∑nfn]=∑nL[fn]\mathcal{L}\left[\sum_n f_n\right]=\sum_n \mathcal{L}\left[f_n\right]L[∂∂xf(x,y)]=∂∂xL[f(x,y)]\mathcal{L}\left[\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right]=\frac{\partial }{\partial x}\mathcal{L}\left[f(x,y)\right]
Definició operador lineal
Ha de complir dues propietats
  1. L[u+v]=L[u]+L[v]\mathcal{L}[u+v]=\mathcal{L}[u]+\mathcal{L}[v]
  1. L[αu]=αL[u]\mathcal{L}[\alpha u]=\alpha\mathcal{L}[u]

Relacionat: Un producte de sumatoris és igual a un doble sumatori

(∑i=1nai)⋅(∑j=1mbj)==a1b1+a1b2+⋯+a2b1+a2b2+⋯+anb1+anb2+⋯anbm==∑i=1n(ai∑j=1mbj)=∑i=1n∑j=1maibj≡∑i,jaibj\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\cdot \left(\sum_{j=1}^m b_j\right)=\\ =a_1b_1+a_1b_2+\cdots+a_2b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_1+a_nb_2+\cdots a_nb_m=\\ =\sum_{i=1}^n \left(a_i\sum_{j=1}^m b_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_ib_j\equiv\sum_{i,j}a_ib_j

Relacionat: Una sumatori d’una suma és la suma de sumatoris

∑i=1n(ai+bi)=a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn=∑i=1nai+∑i=1nbi\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)=a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_n+b_n=\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i