Angle Sòlid

Angle sòlid en

d

dimensions

\Omega_N=\frac{2\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}\qquad\quad S_N=\Omega_Nr^{n-1}

Bla bla bla

d\Omega=\frac{dS}{r^3}\hat{e}_r

En coordenades cartesianes el diferencial de volum s’expressa

$dV^\text{cart}_1=dx$

$dV^\text{cart}_2=dxdy$

$dV^\text{cart}_3=dxdydz$

$dV_N^\text{cart}=\prod_{i=1}^N dx_i$

En coordenades hiperesfèriques el diferencial de volum s’expressa

$dV^\text{hipesf}_1=dS_1(r)dr=r^0d\Omega_1dr=dr$

$dV^\text{hipesf}_2=dS_2(r)dr=r^1d\Omega_2dr=rd\phi dr$

$dV^\text{hipesf}_3= dS_3(r)dr=r^2d\Omega_3dr=r^2\sin\theta d\theta d\phi dr$

$dV_N^\text{hipesf}=dS_N(r)dr=r^{N-1}d\Omega_Ndr$

En què

dS_N(r)

correspon al diferencial de hipersuperfície i

d\Omega_N

és l’angle sòlid.

notion image

Canvi de cartesianes a hiperesfèriques

2 Dimensions

$x=r\cos\phi$

$y=r\sin\phi$

3 Dimensions

$x=r\cos\phi\sin\theta$

$y=r\sin\phi\sin\theta$

$z=r\cos\theta$

4 Dimensions

$x=r\sin\varphi\cos\phi\sin\theta$

$y=r\sin\varphi\sin\phi\sin\theta$

$z=r\sin\varphi\cos\theta$

$t=r\cos\varphi$

“Al final és simplement al afegir una nova dimensió, projectar $\rho=r\sin\varphi_N$ a l’espai d’una dimensió menys, en què $\rho$ passarà a fer el paper de $r$ ”.

N

dimensions

$x_1=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\sin\varphi_3\sin\varphi_2\sin\varphi_1$

$x_2=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\sin\varphi_3\sin\varphi_2\cos\varphi_1$

$x_3=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\sin\varphi_3\cos\varphi_2$

$x_4=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cdots\cos\varphi_3$

$\cdots$

$x_{N-2}=r\sin\varphi_{N-1}\sin\varphi_{N-2}\cos\varphi_{N-3}$

$x_{N-1}=r\sin\varphi_{N-1}\cos\varphi_{N-2}$

$x_{N}=r\cos\varphi_{N-1}$

“Si una dimensió $N$ no existeix aleshores $\varphi_{N-1}=\pi/2$ i per tant $\sin(\varphi_{N-1})=1$ i $\cos(\varphi_{N-1})=0$ ”.